重磅|2021年山东高考备考锦囊②数学

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2020年,是山东省使用新高考全国卷1的元年,也是唯一一个使用新高考全国卷1的省份。青岛市教育科学研究院组织专家团队认真研究试题,深入理解教育部考试中心对试题的分析,为2021年高考备考提出精准指导。青岛市教育科学研究院微信公众号将分学科陆续推出备考锦囊,助力师生勇夺佳绩。


高 中 数 学


2020年高考全国新课标Ⅰ卷(山东卷)数学试题遵循高考评价体系理念,围绕“一核四层四翼”进行,以核心价值为统领,以学科素养为导向,体现了基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求,意在检测数学学科核心价值和学科素养发展水平,对高中数学必备知识和关键能力进行全面考查的同时体现了重视思维、关注应用、鼓励创新的指导思想。因此,2020年的全国新高考Ⅰ卷备受关注,数学试卷总体来说稳中有变, 体现了新课标、新高考的理念和“山东特色”。
一、2020年新高考数学全国卷I试卷分析
(一)整体分析
2020年山东首次实行综合改革后的高考,数学科不分文理。新高考数学科坚持改革创新,全面贯彻中国高考评价体系的要求,更新评价理念,落实立德树人的根本任务。在考试内容改革、题型创新、试卷结构改革以及科学调控难度等方面进行了积极地探索。试题科学把握数学考试的方向性、时代性、科学性与高等院校人才选拔功能的关系,正确把握数学科考试命题与高中数学课程标准、数学核心素养的关系,坚持高考的核心价值,突出数学学科特色,着重考查考生的理性思维能力,综合运用数学思想方法发现问题、分析问题、解决问题的能力。试卷很好地把握了稳定与创新、稳定与改革的关系,对推进高考综合改革、引导中学数学教学都将发挥积极的作用。试题突出对理性思维和关键能力的考查,通过设计真实问题情境,关注我国科学防疫的成果,体现数学文化,贯彻全面育人的要求。例如第12题以信息论中的重要概念信息熵为背景,给出了信息熵的数学定义,结合中学所学的数学知识,编制了信息熵的数学性质的四个命题。试题考查了考生获取新知识的能力和对新概念、新问题的理解探究能力,体现了对数学阅读与理解能力的考查;第6题基于新冠肺炎疫情初始阶段的研究成果设计,考查了相关的数学知识和从资料中提取信息的能力,突出了数学和数学模型的应用;第4题以中国古代测定时间的仪器——日晷为背景,考查考生的空间想象能力、分析问题能力,体现了数学文化育人的价值;第5题关注学生的体育运动与体育锻炼,以此为背景设计了简单的计算问题;第15题创设了一个劳动场景:在学生设计零件过程中,给暴露在空气中的部分刷漆,需要计算刷漆部分的面积。在考查几何知识的同时,培养学生的数学应用意识,提高学生对劳动实践的兴趣。试卷在题型和试卷结构上进行了创新性改革。一是引入了多选题和结构不良试题等新题型。多选题的引入,为数学基础和数学能力在不同层次的考生都提供了发挥空间,同时能够更加精确地发挥数学科考试的区分选拔功能。例如第9题全面考查直线与圆锥曲线的基本概念及其性质特征,选项设置层次分明。第11题考查指数函数、对数函数,幂函数的基本性质及均值不等式的各种表达方法与灵活应用。多选题的设置给广大考生增加了得分机会,增进了数学学习的获得感,也更精准的测试和区分了不同层次考生的数学能力水平,增强了考试的信度和效度。结构不良问题是相对于结构良好问题而言的,结构良好问题往往条件清晰明确,结论统一。但是,我们在现实当中遇到的问题经常都不是结构良好的问题,可能缺少解决问题的必要条件或者某个条件存在变数,其结论也是多样化的,甚至在某些特定条件下问题是无解的,问题的解决过程更是千差万别。结构不良试题的引入,有效地考查了考生建构数学问题的能力,以及分析问题和解决问题的能力。结构不良试题具有很好的开放性,对数学理解能力,数学探究能力的考查是积极的、深刻的。二是对试卷结构进行了合理调整。老高考试卷由选择题、填空题、解答题共三部分组成,其中单项选择题12题,填空题4题,解答题7题(含5个必考题和2个选考题),全卷总题量为23题。新高考对试卷结构进行了改革和调整。新高考卷包括单项选择题、多项选择题、填空题、解答题四部分,其中单项选择题8题40分,多项选择题4题20分,填空题4题20分,解答题部分取消了选考题内容,共6题70分,全卷总题量为22题。2020年新高考数学试题根据学科特点,面向全体考生,服务选才要求,科学调控试卷的难度,坚持数学科高考的基础性、综合性、应用性和创新性的要求,贯彻了“低起点,多层次,高落差”的科学调控策略,发挥了数学考试的选拔功能和良好的导向作用。“低起点”体现为试卷在选择题、填空题、解答题部分进行了系统设计,起始题部分起点低、入口宽,从数学概念、数学方法等方面入手,面向全体学生。例如第1—5题,第17—19题面向全体考生,体现注重考查基础知识,回归教材的特点。“多层次”体现为在试题的难度设计上重视难度和思维的层次性。考生在数学概念的理解、基本数学方法的掌握,数学素养的养成等方面与思维水平有高度的关联性。因此在试题的命制的过程中重视难度和思维的层次性,给广大学生更广阔的思考空间,更多的思考角度,以及基于自己认知水平的发现和探索解题方法的不同平台。例如第10题、第11题、第20题具有多种解法,体现了解题方法的多样性,给不同层次的考生提供了多种分析问题和解决问题的途径。“高落差”体现为重视数学科高考的综合性、创新性。在试题的难度设计上不仅有层次性,而且要在思维的灵活性、深刻性,方法的综合性、探究性和创造性等方面,科学把握试题的区分度,全面体现数学科高考的选拔性功能。例如第21题、第22题对思维能力提出了较高的要求,要求学生具备解决较复杂问题的综合素养和能力,有一定的难度。这样的难度设计有利于高校选拔人才,也有利于中学数学教学的改革,加强培养核心素养。
(二)具体评析
1.坚持立德树人,倡导“五育”并举
数学试题关注数学文化育人的价值,重视全面育人的要求,发挥了数学科高考在深化中学课程改革、全面提高教育质量上的引导作用。如第4题以中国古代测定时间的仪器——日晷为背景,考查考生的空间想象能力、分析问题能力,体现了数学文化的育人价值。第5题关注学生的体育运动与体育锻炼,以此为背景设计了简单的计算问题。数学试题也将社会生产、劳动实践情境与数学基本概念有机结合,如第15题在考查几何知识的同时,培养了学生的数学应用意识。第19题以保护环境、治理空气污染为背景,借助100天空气中的PM2。5和SO2浓度数据,考查学生应用所学的概率和统计知识对现实社会中实际数据的分析处理能力。培养学生的数学应用意识和社会责任感,发挥数学学科的德育功能。
2.突出主干知识考查,系统全面
新高考Ⅰ卷保持了往年高考试题的一贯特色——基于教材、注重基础知识的理解。选择和填空的基本题大多源于教材中的例题和习题。重点知识重点考查,主干知识的试题保持较高的比例,如集合、复数、向量、数列、三角函数、概率统计、函数与导数、立体几何(平行与垂直)、解析几何等核心知识板块。

知识点    题号    分值总计    

集合与常用逻辑用语    1、    5    

函数与导数    6、8、12、21    27    

三角函数    10、17    15    

数列    14、18    17    

不等式    11    5    

平面向量    7    5    

复数    2    5    

立体几何    4、16、20    22    

解析几何    9、13、22    22    

统计与概率    5、19    17    

排列组合    3    5    

平面几何知识    15    5    


3.紧扣时代脉搏,“战疫”科学入题
2020年高考数学科注重发挥时代特色,将“战疫”科学地融入试题中。试卷第6题,命题设计基于新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数的数学模型的研究成果。试题用数学模型揭示了病毒的传播规律,体现了科学防控。考查了指数、对数的运算和从资料中提取信息的能力,突出数学模型的应用。在体现志愿精神方面,第3题是以同学做志愿者为背景设计的数学问题,考查学生对基本知识的掌握程度及运用所学知识解决实际问题的能力。
4.情境新颖、贴近生活,突出核心素养的考查
数学试题通过创设多元化问题情境,突出数学学科核心素养的落实与考查。试题中的情境涉及到了许多方面:中国古代用来测定时间的仪器日晷(第4题)、体育锻炼(第5题)、新冠肺炎(第6题)、劳动实习制作零件(第15题)、空气质量监测(第19题)等 。这些情境有的与中国传统文化相联系、有的与生活实际相联系,情境的创设不仅新颖,而且也凸显了数学学科不仅担负着重要的选拔功能,还担负着重要的育人评价功能。数学试题通过考查学生应用数学概念、原理、方法,结合生活实际解释现实中的现象,解决生活、生产中的数学问题。引导学生学会运用数学方法对实践结果进行分析,在考查数学知识的同时,培养学生的数学应用意识,培养学生理性分析问题的思维习惯,突出了核心素养的考查。
 5.突出理性思维,考查关键能力
新高考数学突出理性思维,将数学关键能力与”数学应用”、“数学探究”、“数学文化”多元素统一在理性思维的主线上。试卷第9题全面考查直线与圆锥曲线的基本概念及其性质特征,选项设置层次分明,考查考生运用所学知识分析、解决问题的能力;第11题考查指数函数、对数函数,幂函数的基本性质及均值不等式的各种表达方法与灵活应用;第12题以信息论中的重要概念信息熵为背景,结合中学所学的数学知识,编制了信息熵数学性质的四个命题,考查学生获取新知识的能力和对新问题的理解探究能力;第16题以直四棱柱外接球为背景,多侧面、多层次的考查学生的直观想象和逻辑推理能力;第17题以解三角形为背景设计的结构不良试题,引导学生的思维从知识的习得与记忆更多的转向问题的解决、策略的选择,使得数学应用在思维层面真正发生;第20题以简单的具有线面垂直关系的四棱锥为载体,多角度考查线面的位置关系,试题中面面的交线需要学生利用线面平行的性质定理发现并证明,属于条件不明试题,考查了学生的观察能力与灵活运用知识的综合能力。同时,数学试题注重对数学语言表达能力的考查。第21题、第22题综合考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力、分类与整合的能力,对数学语言表达能力的逻辑性和条理性提出了较高的要求。
 6.知识交汇处命题,重视内在联系
注重学科的内在联系和知识的综合运用,从学科整体意义和思想含义上立意,坚持多角度、多层次的考查。如第12题引入信息学概念,通过随机变量考察导数的应用;再如第22题解析几何综合题,以学生最熟悉的椭圆为背景,通过椭圆上的定点构造与该定点为直角顶点的椭圆内接三角形,证明该直角三角形斜边过定点,然后通过半径探寻圆心,考查学生对解析几何的几何背景的认识以及对几何关系的理解,考查学生的逻辑思维能力和创新能力,考查化归与转化意识和分析问题与解决问题的能力,对学生的数学素养与能力有较高的要求。试题适当增加了自然科学和社会人文科学情境的试题,关注探究能力、数学学习能力的考查,通过创新题型对学生创新能力进行考查。
7.试题梯度明显,承载了选拨功能

试题难易程度    题号    分值    占分比重    

易    1、2、3、13    20    13.3%    

较易    5、6、17    20    13.3%    

中档    4、7、9、10、14、18、19    49    32.7%    

较难    8、11、15、16、20、21    44    29.3%    

难    12、22    17    11.3%    


整套试卷坚持稳定为主, 注重基础考查,突出能力立意。试题的设置有明显的梯度,有利于高校选拨人才。试题有四个“关卡”,其一:选择题(12)综合性强;其二:填空题(15)图形复杂,考察平面几何中求面积的运算能力;其三:解答题(21)思维难度加大;利用构造新函数、指数与对数不等式、放缩法、分类讨论思想都可以扣开解题之门。其四:解答题(22)运算复杂。这些都有利于考生之间拉开距离,方便高校的选拨。试卷将知识、能力融为一体,全面检测考生的数学素养,同时也恰当呼应了新课标高中数学课程改革的要求,符合《中国高考评价体系》中“一核四层四翼”的要求。
8.调整试题结构,引入创新题型
新高考数学试题结构调整为8个单选题,4个多选题,4个填空题,6道解答题,引入了多选题和结构不良试题等新题型。结构不良试题的引入,有效地考查了考生建构数学问题的能力,以及分析问题和解决问题的能力。结构不良试题具有很好的开放性,对数学理解能力,数学探究能力的考查是积极的、深刻的。例如第17题以解三角形为背景设计,给定了若干条件(在这些条件下三角形并不能随之确定),在此基础上让考生在另外给出的几个条件中自主选择,在自己所选条件下,若问题中的三角形存在,求解三角形;若问题中的三角形不存在,说明理由。这个选择本身就是试题要考查的内容之一,不同的选择可能导致不同的结论,难度与用时也会有所区别。结构不良试题的命制,引导学生的思维从知识的习得与记忆更多的转向问题的解决、策略的选择,使得数学应用在思维层面真正发生。
二、2020年新高考数学全国卷I对高一教学的启示
高考命题的价值取向是引领基础教育更好地落实数学教育的目标,即渗透教学文化、体现核心价值、提高学生的关键能力、提升学生的数学核心素养。更为重要的是,对课堂教学具有导向性。
1.数学抽象是数学联系现实世界的主要环节,通常表现为两个方面:一是在实际情境中发现与数量关系或空间形式有关的带有普遍性的规律,并把这种规律用数学的形式或结构表示出来,从而形成一般的模式;二是利用给定情境中的特殊的数量关系或空间形式确定所构建的一般模式中的各种参数及其变化范围,从而得到具体的模型。在概念课中,教师要善于基于问题情境,加强过程引导,引领学生积累从具体到抽象的活动经验。让学生在活动过程中进行观察、辨识、类化、抽象、概括、符号化等活动,在数学抽象过程中得到心理认知发展的过程。在单元教学中,教师要注重数学抽象在日常教学中的渗透,在更高的观点下对已学知识系统的梳理。系统的描述某板块知识的知识体系、尝试利用数学的某些核心概念串联相关知识,明晰知识背后的数学结构;强化数学与现实客观事物的联系、数学本身之中内在的联系,让学生逐渐学会在孤立中看到联系、在分散中看到整体、在表面中看到实质,培养学生抽象性思考问题的习惯和思维方式。
2.数学思维不仅有生动活泼的探究过程,而且有严谨理性的证明过程。逻辑推理是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。逻辑推理不仅在操作层面是数学活动的基本方式,更是人们在数学活动中经常表现出的一种思维品质。在教学中,教师要有意识地引导学生主动的梳理内容主线,梳理各部分、各板块间的内在逻辑关系,从整体上把握知识的逻辑结构,增强整体驾驭知识的能力;在问题解决过程中,要重演绎,同样重归纳,教师要善于引导学生进行“从猜想到证明”式的探索过程,引导学生经历发现结论、证明结论的全过程,不断地提高学生的数学思维品质;在“命题”的教学中,引导学生梳理条件、结论,把握条件、结论间的逻辑关系,启发学生探讨该命题的变化形式和相互之间的逻辑关系;在“证明”的教学中,尤其是立体几何的教学过程中,教师不要过分强调逻辑推理的技能训练,而应注意引导学生学习公理化方法的本质,即学习如何用分析的方法,从纷繁复杂的事实中找出出发点,然后以逻辑的方式将其他事实演绎地陈述出来。
3.运算是数学最基本、最主要的研究对象。通过运算去研究和解决数学和其他学科的问题,也是用数学的方式解决问题的基本方法。教师要帮助学生理解运算对象,深入理解运算对象的含义和作用,寻找运算对象与结论之间的逻辑关系;教师要帮助学生学会“合理运用法则、确定运算思路”,明确运算法则的依据是基础,解决问题的思路是目标。运算方法不仅用于解决一个具体问题,还要不断地发掘这些问题的共性本质,进而拓展到解决一类问题的方法,形成通性通法。教师要在教学中营造宽松的氛围,让学生积极展示不同的求解方法,呈现多样的解题思路,鼓励创新求异,但同时要适时开展评析活动,让学生体会方法的合理性和适切性。
4.重视数学阅读能力的培养。能否读懂试题、正确理解题意,是学生解决问题的关键。文字语言、符号语言、图形语言,这些语言如果学生读不懂,更不用提三者之间的转换与数学语言的表达。语文和英语学习中一个重要环节是,教师引导学生分析文章主旨、段落大意、关键字词的含义。数学也是一种语言,数学学习是否也可以借鉴?教材是最好的阅读材料,通过精心设置导学案问题,引导学生将自主阅读、自主学习落到实处。课堂上,花时间领着学生分析教材中的语言表达,教给学生粗读、精读。教材中的每一句话都是精心设置的,不同版本对同一内容的叙述略有不同,教师可比较不同版本教材的叙述,为学生提供更为丰富的阅读材料。
5.数学建模是数学学科的六个核心素养之一,也是高中数学四条主线之一。《课标(2017年版)》特别强调“数学建模活动与数学探究活动”这条主线在帮助学生更好地掌握知识技能、学会数学地思考和实践方面有着重要的作用,认为它是学生形成和发展数学核心素养的有效载体。高考由于时间所限,很难考查完整的数学建模过程,只能考查部分理想化的应用题,因而借助纯实际背景问题考查数学建模素养的比重不是很大,但这并非意味着对数学建模素养考查的比重不大,不能因此而忽视。数学建模是一种思考方法,是运用数学语言和方法,通过抽象、简化,建立能近似刻画这一问题的数学模型并解决问题的强有力的手段。对高中的数学建模教学而言,问题解决不是教学目标,让学生经历实际问题解决的过程,学习、体会问题中蕴含的数学概念、原理、方法、思想,以此培养“四基”、“四能”,促进素养提升,提高数学思维能力,发展理性思维,实现数学育人的终极目标,这才是数学教学的真正目的。
6.关注概念的本质、原理的本质。教会学生数学探究、教会学生合情推理、教会学生问题解决,这是课堂教学的目标。数学高考对于学生思维的灵活性有很高的要求,面对新的问题可以采用哪些方法?选择哪种方法最合适? 重视每一个新概念、新方法的获得过程。反复训练了十几种通项公式的求法,而忘了最初是观察数列猜想通项公式,只能是解题经验的积累,而并非能力的提升。
三、2020年新高考数学全国卷I对2021年高考复习的启示
2020年新高考数学全国卷I的题型呈现“五化”的特点,即“考查内容的全面化、试题背景的情境化、设问方式的多样化、思维方式的多元化、解答过程的规范化”。因此2021年高考复习指导思想是全面、扎实、系统、灵活。所谓全面即全面覆盖;所谓扎实是指抓好单元知识的理解、巩固、深化;所谓系统是指注意知识的前后联系、有机结合、完整性、系统性,使学生初步建立明晰的知识网络;所谓灵活是要求增强小综合训练,克服单向性、定向性,初步培养综合运用知识、灵活解题的能力。复习的直接目标是解决高考中的基础题,其根本目的是为数学素质的提高作物质准备。复习初期要抓好对基本概念的准确记忆和实质性的理解,抓基本方法、基本技能的熟练应用,抓公式和定理的正用、逆用、变用、巧用,抓基本题型的训练和熟化。从具体的操作层面上来说:
1.知识点讲解必须到点、到位
高考就考学生平时易混、易错、概念间不清的问题。所以如果学生做题总有某些地方不能确定,说明其基本概念、基本方法并没有学扎实。比如,新高考Ⅰ卷的第16题考察了球面与直四棱柱的侧面的交线长,实质上就是球的截面圆的一段弧长问题。这个问题在平时的教学中涉及过、讲过,但从学生反馈来看学生答得并不理想。因此平时教学中必须贯彻讲一个知识点,就讲清、讲透、讲到位的原则。
2.注重课本,研究新课标
众所周知,高考中许多试题来源于课本中的例题、习题。比如新高考Ⅰ卷的第13题来源于人教A版《数学》选修2-1第69页例4;新高考Ⅰ卷的第9题来源于人教A版《数学》选修2-1第80页《复习参考题》A组第4题。因此,在平日教学中,尤其是基础年级一定要立足课本,把握好例题、习题的教学。同时一定要研究新课标,把握好方向,有的放矢。
3.重视概念复习,把握应用概念解题
概念是数学知识体系的重要组成部分,要学好数学必须先融会贯通数学概念。享誉中外的数学家华罗庚曾说过:“数学的学习过程就是不断建立各种数学概念的过程”。中学数学的显著特点就是概念增多了、逻辑性增强了。仅在立体几何这部分中,就出现了平行、垂直、异面直线、二面角等十几个重要概念。在新课标背景下的高中数学,新教材里共出现了300多个概念。数学的内容展开,都建立在这些数学概念的基础之上。如果理解掌握不了这些概念,后面的学习将不可能进行。所以,完善数学概念的教学方式、提升数学概念教学的水平、强化学生对数学概念的理解,是使学生融会贯通地掌握数学知识、增强思维能力的前提条件。
4.提倡精讲精练,摒弃题海战术
新高考关注学生探究能力、学习能力的考查。通过创新题型对学生创新能力进行考查。题海战术可能对极少部分学生有效,但对大多数考生绝对是一场致命的伤害,其结果必然是广种薄收,甚至颗粒无收。做题不在多,理解则灵;难度不在大,有效才行。这对今后的教学、教与学都提出了新的挑战。
5.关注运算过程,规范答题步骤
数学运算是数学核心素养的重要组成部分,也是学生的薄弱环节。新高考Ⅰ卷带着浓浓的“山东味”,第22题的解题思路并不难寻,但是运算的复杂性难倒了一片学生;第6题虽然不难,但其中的运算也让部分学生恍惚了一阵。因此在平日的教学中,要注重运算能力的培养,尤其是一些复杂的运算,要带着学生一起战胜困难,不要一见到此类题目就逃避。另外良好的答题习惯和书写习惯要在基础年级就培养,不要等到高三临时抱佛脚。总的说来,通过对新高考Ⅰ卷的梳理与分析,让我们从教学的终端环节——考试评价这一视角,对于新课程标准的具体实践、新教材教学资源的具体解读,有了进一步的理解与思考;对于如何构建高效的数学课堂、如何落实学科核心素养的培养、如何实现学科的育人价值,也给予了实操层面的引导和建议。